Quesito matematico

[gtr84]

Originariamente inviato da filippom
E dove vuoi andare a parare con questa formula?
Se scrivi che 0^0 è uguale a (3-3)^(2-2) non cambia la sostanza delle cose. Tanto più che se nella tua formula

(x-x)^n/(x-x)^n

svolgi le potenze alla fine la somma algebrica di ciò che viene fa sempre zero, quindi non cambia nulla.



Senti ma invece di fare il saputello perchè non chiedi al tuo prof di matematica? 0^0 è una forma indeterminata e non c'è altro da dire, a meno che il mio prof delle superiori, quello di Analisi 1, di analisi 2 e di metodi matematici per l'ingegneria non siano delle emerite bestie. Se non trasformi la tua sicurezza in curiosità perderai sempre tempo

E va bene va bene. Domani chiedo al Professorone di Analisi II
Contento?

[goldorak]

Problema interessante determinare il valore di 0^0. La risposta e' 1 ed e' possibile darne una dimostrazione basata sia sulle proprieta' delle potenze in R*+ che sulla definizione di continuita' di una funzione di due variabili.

Inanzitutto per x>0, y>=0 x^y = e^(y*lnx). Poniamo F(x,y)=x^y, e determinamo il limite in (0,0).

lim(x->0)lim(y->0) F(x,y)=1
lim(y->0)lim(x->0) F(x,y)=1

ma non basta. Essendo F una funzione continua di 2 variabili occorre dimostare che qualunque sia la direzione lungo la quale (x,y) tende a (0,0) F(x,y) tende a 1. Per semplicita' si opera una cambio di variabili ponendo

x=r cos(theta) r>=0, 0<theta<pi/2
y=r sin(theta)

in questo modo F(x,y)=G(r,theta)=e^(r*sin(theta)*ln(r*cos(theta))) e discende da questa funzione che qualcunque sia in valore di theta compreso tra 0 e pi/2
lim(r->0) G(r,theta)=1.

Quindi in definitiva lim((x,y)->(0,0)) F(x,y) = 1. Quindi e' possibile prolungare la funzione F per continuita' in (0,0) ponendo F(0,0) =1 ovvero 0^0=1.

[goldorak]

Originariamente inviato da filippom
Veramente in e^(y*lnx) se fai tendere x a 0 il log viene -infinito e se moltiplichi per y=0 viene ancora un forma indeterminata (0 * infinito). E in ogni caso e ^ - infinito fa 0 e non 1.

E vero, scusa ma ho sbagliato.
Pero' a questo punto
lim(y->0)lim(x->0) F(x,y)=0.
Sarai d'accordo con me che il resto del ragionamento tiene, nel senso che per (x,y)->(0,0) si ha F(x,y)->1 tranne lungo la direzione x->0 dove lim(y->0) F(y,0)=0 come mi hai fatto notare giustamente.

[goldorak]

Continuo pero' a pensare che togliendo l'insieme {(x,y) | x =0 } che ha misura nulla in RxR e' possibile prolungare per continuita' F(x,y) in (0,0) ponendo 0^0=1.
Fammi sapere cosa ne pensi.

[goldorak]

Originariamente inviato da filippom
Non ho capito questo passo:

e^(r*sin(theta)*ln(r*cos(theta))) e discende da questa funzione che qualcunque sia in valore di theta compreso tra 0 e pi/2
lim(r->0) G(r,theta)=1.

Perchè fa sempre 1?

Fissando theta tra 0 e pi/2 cos(theta) e sin(theta) non si annullano. Quindi devi solo valutare il limite per r->0. Ora in generale sussiste il seguente limite notevole lim(z->0) z*lnz=0,
in questo caso pensa a cos(theta) e sin(theta) come delle costanti avendo fissato il valore di theta; si ha che
lim (r->0) r*costante1*ln(r*costante2)=0 quindi e^(0)=1.

[hikari84]

Originariamente inviato da Ziosilvio
No. Almeno nell'ipotesi in cui né x né n sono uguali a zero.

0^0=(x-x)^(n-n) è giusto.
Ma (x-x)^(n-n)=((x-x)^n)/((x-x)^n) è sbagliato, perché il primo membro è un numero, mentre il secondo è 0/0, che non è un numero.

Cioè...?

[goldorak]

Originariamente inviato da filippom
Hai ancora una forma indeterminata, perchè r*costante1 fa 0 mentre ln(r*costante2) fa -infinito, e 0*infinito non si può fare

No, scusami ma quando fai il limite del espressione non valuti ogni termine singolarmente ma insieme. Per esempio quando calcoli il limite di x->0 di x*lnx secondo il tuo ragionamento dovremme avere una forma indeterminata perche lnx->-infinito quando x->0 ottenendo 0*infinito mentre vale lim (x->0) x*lnx =0.
E' un limite notevole.

[goldorak]

Originariamente inviato da filippom
E' notevole? Non mi ricordavo... allora il discorso fila, comunque non so se è una generalizzazione fattibile. Hai visto il link che ho postato prima? Che ne pensi?

Ho visto adesso nella pagina che hai linkato che 0^0=0. Mi ha lasciato perplesso e sono andato a vedere sulla mia enciclopedia cosa dicono al riguardo di 0^0, e purtroppo per me dicono che 0^0=0.
Questo vuol dire che ahime' la mia premessa che l'insieme {(x,y) | x=0} fosse trascurabile per determinare il limite di x^y fosse sbagliata.
Accetto il fatto che 0^0=0 ma vorrei vedere una dimostrazione formale.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da filippom
Perchè è sbagliato? E' un passaggio matematico perfettamente lecito, ed infatti sono due forme indeterminate

La divisione per zero non è un passaggio matematico lecito.
Ed è proprio quello che accade nel passaggio "(x-x)^(n-n)=((x-x)^n)/((x-x)^n)" nell'ipotesi che n non sia zero.
(Ribadisco che il contesto è quello di un'espressione numerica.)

[gtr84]

Originariamente inviato da filippom
Non ho capito questo passo:

e^(r*sin(theta)*ln(r*cos(theta))) e discende da questa funzione che qualcunque sia in valore di theta compreso tra 0 e pi/2
lim(r->0) G(r,theta)=1.

Perchè fa sempre 1?

(Kikino dixit)

Visto che penso chel'equivoco nasca da un non corretto uso delle parentesi, perchè non cominciate a usare la notazione latex ?

[goldorak]

Originariamente inviato da filippom
Ti sbagli, c'è scritto questo:

Divisione
a : 0 = Impossibile
0 : a = 0
0 : 0 = Indeterminata
Potenza
a^0= 1
0^a = 0
0^0= Impossibile

E se leggi il documento più su ci sono anche delle dimostrazioni

Era scritto troppo piccolo, ed ho confuso 0^a con 0^0.
Pero' non mi spiego allora com'e' che nella enciclopedia sostengono che 0^0=0 ?
Cmq nel documento che hai linkato c'e' scritto che 0^x=1 per x<>0. "Per quel che riguarda x^0 dicono che Il numero elevato alla zero deve essere diverso da zero!!! ".
Ma non sipegano perche' 0^0 e' impossibile.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da filippom
Non capisco, dov'è la divisione per 0 in questi passaggi?

(x-x)^(n-n)=((x-x)^n)*((x-x)^-n)=((x-x)^n)*(1/(x-x)^n)=((x-x)^n)/((x-x)^n)

x-x è zero in ogni caso.
Se n non e' 0, allora (x-x)^n=0^n è "il prodotto di n>=1 termini, tutti uguali a zero", quindi è 0.
E nell'ultimo passaggio c'è proprio una divisione per (x-x)^n.

[The_Prof]

Originariamente inviato da filippom
Infatti è proprio quello che voglio dimostrare
Siccome con una serie di passaggi matematici perfettamente leciti

0^0=(x-x)^(n-n)=((x-x)^n)*((x-x)^-n)=((x-x)^n)*(1/(x-x)^n)=((x-x)^n)/((x-x)^n)=0/0

siamo arrivato alla conclusione che 0^0 è equivalente a 0/0, così come è una forma indeterminata la seconda lo è pure la prima

Per definizione nel campo reale R la potenza 0^a e' definita solo per esponenti positivi comunque piccoli.

Questo per quanto riguarda la teoria dei corpi dotati di struttura algebrica.

Nel tuo passaggio precedente mi sembra che 1/x-x non sia propriamente un'operazione ammessa.

Ciao

[a2000]

Originariamente inviato da goldorak
Problema interessante determinare il valore di 0^0. La risposta e' 1 ed e' possibile darne una dimostrazione basata sia sulle proprieta' delle potenze in R*+ che sulla definizione di continuita' di una funzione di due variabili.

Inanzitutto per x>0, y>=0 x^y = e^(y*lnx). Poniamo F(x,y)=x^y, e determinamo il limite in (0,0).

....

L'approccio è corretto ma la conclusione no !

0^0 è una "forma indeterminata" che nasce nel calcolo dei limiti di funzioni della forma f(x)^g(x)

Il valore del limite dipende (come in tutte le forme indeterminate) dalla "velocità" relativa con cui i due termini raggiungono il loro valore limite.
Se g(x) tende a 0 molto più "velocemente" di f(x) il limite è 1
se viceversa è f(x) il più "veloce" il limite è 0
Ci sono poi casi in cui il limite può essere un numero a piacere, per esempio:

lim x^[ln(b)/(x+ln(x))] = b (con b>0)
x->0

La scrittura 0^0 rappresenta quindi una forma indeterminata che può assumere valori diversi così come è scritto in tutti i testi di analisi matematica.


La posizione 0^0 = 1 è una Verità Supposta di Caparezza (ma non di Caccioppoli) comoda giusto per risparmiarsi la scrittura di un termine in qualche espansione in serie, ma mooolto pericolosa, soprattutto se implementata in codici numerici (Fortran of course).



P.S.
complimenti a filippom che ha tenuto botta alla carica degli unicorni

[goldorak]

Originariamente inviato da filippom
Ho notato un'altra cosa che non va in quella dimostrazione, anche se non sono sicurissimo... le mie reminescenze di metodi matematici mi suggeriscono che il punto 0 non si può "convertire" in coordinate polari, perchè l'angolo theta non esiste (non è 0, a differenza di tutti gli altri punti sull'asse X positivo).

Ma infatti, la mia trasformazione non va a toccare il punto (0,0). Se vedi come l'ho definita


x=r cos(theta)
y=r sin(theta)

questa applicazione e' un diffeomorfismo di classe c1 dal insieme
{r>0, 0<theta<pi/2} -> {x>0,y>0}, e quindi il punto origine non viene toccato.

[goldorak]

Originariamente inviato da filippom
Si ma se escludi l'origine dal tuo insieme non so se poi puoi fare quei limiti...

Il limite di una funzione F in un punto (a) puo' esistere senza che (a) appartenga al insieme di definizione D di F. E' sufficiente che (a) sia punto di accumulazione per D. In questo caso (0,0) e' punto di accumulazione per D={x>0,y>0}.

[a2000]

Originariamente inviato da goldorak
Ma infatti, la mia trasformazione non va a toccare il punto (0,0). Se vedi come l'ho definita


x=r cos(theta)
y=r sin(theta)

.....

bene allora converti in coordinate polari la curva

y = ln(b)/(x+ln(x))

e scapicollati verso l'origine in coordinate polari e vedrai che (come in coordinate cartesiane) il limite di x^y è un valore finito a piacere b.

In altre parole il valore limite di x^y dipende dalla "traiettoria", y(x), di avvicinamento all'origine, valore limite che è in generale diverso da 1 come mostrato nell'esempio.

Cioè ragazzi ho capito che per non far piantare i codici qualche compilatore "forza" a 1 0^0 ma serve solo a rimandare #NAN error di qualche ciclo.

[a2000]

Originariamente inviato da filippom
Si fa quel che si può
Interessante l'osservazione sulla velocità con cui ogni termine tende a 0, non ci avevo pensato
Invece in quel documento che ho linkato parla dell'indeterminazione sotto altri aspetti, altrettanto interessanti

beh la regola di De L'Hospital calcola il limite delle forme indeterminate proprio confrontandone le derivate ossia le "velocità".

comunque filippom che vuoi, siamo nel paese dei capannoni, Montedison non c'è più, Fiat quasi, Parmalat per fortuna non ne ho e ... 0^0 fa 1: come dicono i francesi "tout se tient"

[dnarod]

....sara, ma qui non si parla di analisi.......si parla di numeri in N, per la precisione di UN numero in N: 0; e basta........i limiti non sposano con la domanda "quanto fa 0^0?" del resto puo essere spiegato che 0^0 sia uguale a 0 senza troppe dimostrazioni; se lo si vede nell' ottica che 0 per un numero arbitrario di volte fa 0, allora 0^0 = 0*a dove a=0.....quindi "0"........se invece lo si vede come 0^1/0^1 si sbaglia perche quell' esempio funziona solo per basi != 0......infatti 0^-1 fa 1/0 che (come forse tutti avranno visto) è !......lasciamo stare le disquisizioni filosofiche sulla matematica.......se vogliamo, a sto punto, nella geometrina non euclidea, due rette parallele possono incontrarsi all infinito, ma direste mai a qualcuno "guarda che due rette parallele possono anche essere incidenti"?? non vedo poi come si possa spiegare con l analisi un problema del genere visto che non si tratta di funzioni ma di valori (non ha neanche senso generalizzare e parlare di variabili e correlarglidelle funzioni per un problema con un solo valore intero e naturale)....magari mi sbagliero, ma magari no.....

[goldorak]

Per chiarire in fondo questo quesito matematico ho chiesto aiuto ad un newsgroup di matematici. Allora mi hanno risposto che il valore che si da' a 0^0 dipende dal insieme numerico sul quale uno lavora. Cito testualmente :

Almeno in ambito aritmetico, 0^0=1. Infatti nell'insieme dei naturali la potenza m^n e' definibile in modo del tutto consistente come la cardinalita' dell'insieme delle funzioni da un insieme con n elementi a uno con m. Poiche' esiste esattamente una
funzione dall'insieme vuoto a se' stesso (la funzione vuota), 0^0=1.

Il fatto e' che in abito reale la definizione di 0^0 come un
determinato numero (0,1,69 o altro) e' incoerente con l'estensione delle proprieta' delle potenze alla divisione. Piu' o meno e' lo stesso motivo per cui non si definiscono le potenze di una base negativa ed esponente reale, mentre le potenze
a base negativa ed esponente intero relativo sono perfettamente
definibili. Quindi in R non si puo' definire in maniera consistente 0^0.