[CONFITEOR]

Salve sono un giovane studente di Fisica è vorrei sapere perché alcuni matematici hanno problemi ad in inserire lo zero nell'insieme dei numeri naturali.

(risponde Carlo Consoli)
L'appartenenza dello zero ai numeri naturali è un tema decisamente controverso. Il problema non è solamente di "alcuni" ma, purtroppo, di "tutti" i matematici.
Tanto il decidere per l'inclusione, quanto per l'esclusione porta a problemi concettuali non banali. Questa, la situazione attuale:
Non esiste un accordo generalizzato per l'esclusione o l'inclusione dello zero nei naturali
Ciascuna scelta porta a problemi di incoerenza (nel caso dell'inclusione) o di incompletezza (nel caso dell'esclusione) praticamente irrisolvibili.
Con buona pace del luogo comune "la matematica non è un opinione", per renderci conto quanto sia assente uno standard definito, osserviamo le due modalità di classificazione dei tipi di numeri.
In alcuni istituti scolastici ed universitari americani e greci i numeri popolarmente indicati come "senza virgola" sono classificati come segue:

numeri naturali: 1,2,3,4,5...
numeri "whole" (integri - da non confondere con gli interi -): 0,1,2,3,4,5 ...
numeri interi : ...-3,-2,-1,0,1,2,3 ...
Inoltre, sebbene sia una usanza deprecata dai più, i numeri positivi 1,2,3,4,5 vengono detti da alcuni "assoluti", mentre vi è accordo assoluto sui numeri negativi -3, -2, -1. La distinzione tra numeri naturali e "whole", termine intraducibile (senza ambiguità) per indicare i naturali con lo zero incluso è sfruttata per costruire più agevolmente i razionali (popolarmente, i "numeri fratti" o "frazioni") dicendo che un numero razionale è costruito dividendo un numero "whole" per un naturale.
Nel testo "Algebra" di riferimento del corso di Matematica all'Università di Roma "La Sapienza" (cap. 2), l'insieme dei numeri naturali viene definito con lo zero incluso.
Bertrand Russel, in "Introduzione alla filosofia matematica"(pag.20) asserisce, nel celebre brano:
"Per una persona di cultura media, oggi, il punto ovvio di partenza della matematica sarà la successione dei numeri interi ("whole"),
1,2,3,4 ...
E' probabile che solo ad una persona che conosca un po' di matematica verrebbe in mente di cominciare con lo 0 anziché da 1; presupponiamo comunque questo grado di cultura e prendiamo come nostro punto di partenza la serie
0,1,2,3,...,n,n+1,...
questa sarà la serie che chiameremo 'la serie dei numeri naturali' ".

Purtroppo, nella edizione italiana "whole numbers" è stato tradotto come "interi", generando confusione con i veri e propri interi, ovvero la serie dei relativi popolarmente nota come dei "numeri col segno".
Si osservi come Russel impieghi i termini "naturali" e "whole" in modo opposto a quanto esposto prima.
L'origine dei numeri naturali sembra essere dovuta alla necessità di assegnare ad un insieme di oggetti un simbolo che ne definisca la quantità. Questa operazione di astrazione è stata una operazione sicuramente non banale che testimonia il nostro alto grado di civiltà. Lo stesso Russel dice:

"Devono infatti essere stati necessari molti secoli per scoprire che una coppia di fagiani ed un paio di giorni sono entrambi espressioni del numero 2; il grado di astrazione che questo comporta non è certo lieve. (...) Quanto allo 0, è una scoperta recentissima; i Greci ed i Romani non avevano questa cifra".

In questo passo Russell usa un efficace gioco di parole sul termine inglese "digit" che in italiano significa sia "cifra" che "dito". Quindi lo zero è sicuramente un numero particolare, poiché non è corrispondente ad alcun "dito" e rappresenta la "quantità di cose in un insieme di oggetti che non esiste".
Supponiamo di essere un gestore di una taverna nell'antica Roma che abbia la necessità di tenere il conto del numero di bottiglie Falerno in cantina. Il sistema dei numeri naturali può essere un ottimo strumento per supportare il nostro lavoro.
La definizione originale dei numeri naturali, con lo zero escluso, è incompleta senza un simbolo che indichi l'assenza di oggetti in un insieme. Non saremmo infatti in grado di scrivere su un foglio l'evento "non ci sono più bottiglie in cantina". Viceversa, l'inclusione dello zero nei numeri naturali rompe la coerenza dell'insieme basata sull'assunto che ogni numero è corrispondente alla presenza di una quantità di bottiglie. Lo zero sarebbe l'unico numero legato alla assenza di bottiglie.
Quindi, mentre i numeri 1,2,3... sono legati ad una presenza concreta di oggetti, lo zero è sicuramente speciale perché corrisponde all'idea astratta dell'assenza di bottiglie.
La difficoltà di adottare il modello inclusivo o esclusivo è quindi evidente: se i numeri naturali sono l'astrazione della misura di una quantità di oggetti, come si colloca lo zero, in quanto "misura del vuoto" ?
I matematici hanno, quindi, tanta difficoltà ad inserire quanta ad escludere lo zero nei numeri naturali (nei libri di matematica lo zero è apparso nella serie dei numeri naturali solo dagli anni '60 in poi) perché adottando il modello inclusivo si ottiene un sistema di numerazione completo, in grado di rappresentare anche il fenomeno dell'assenza. Ma includendo lo zero siamo costretti ripetutamente ad escluderlo e a trattarlo come una eccezione quando si tentano di compiere ulteriori operazioni sui naturali (ad esempio, nella costruzione dei numeri razionali siamo obbligati ad escludere lo zero dal denominatore). Viceversa, adottando il modello esclusivo le incoerenze scompaiono ma non siamo più in grado di rappresentare alcuni fenomeni, come la misura dell'insieme vuoto.