Bell'articolo sullo "0"
 

Salve sono un giovane studente di Fisica è vorrei sapere perché alcuni matematici hanno problemi ad in inserire lo zero nell'insieme dei numeri naturali.

(risponde Carlo Consoli)
L'appartenenza dello zero ai numeri naturali è un tema decisamente controverso. Il problema non è solamente di "alcuni" ma, purtroppo, di "tutti" i matematici.
Tanto il decidere per l'inclusione, quanto per l'esclusione porta a problemi concettuali non banali. Questa, la situazione attuale:
Non esiste un accordo generalizzato per l'esclusione o l'inclusione dello zero nei naturali
Ciascuna scelta porta a problemi di incoerenza (nel caso dell'inclusione) o di incompletezza (nel caso dell'esclusione) praticamente irrisolvibili.
Con buona pace del luogo comune "la matematica non è un opinione", per renderci conto quanto sia assente uno standard definito, osserviamo le due modalità di classificazione dei tipi di numeri.
In alcuni istituti scolastici ed universitari americani e greci i numeri popolarmente indicati come "senza virgola" sono classificati come segue:

numeri naturali: 1,2,3,4,5...
numeri "whole" (integri - da non confondere con gli interi -): 0,1,2,3,4,5 ...
numeri interi : ...-3,-2,-1,0,1,2,3 ...
Inoltre, sebbene sia una usanza deprecata dai più, i numeri positivi 1,2,3,4,5 vengono detti da alcuni "assoluti", mentre vi è accordo assoluto sui numeri negativi -3, -2, -1. La distinzione tra numeri naturali e "whole", termine intraducibile (senza ambiguità) per indicare i naturali con lo zero incluso è sfruttata per costruire più agevolmente i razionali (popolarmente, i "numeri fratti" o "frazioni") dicendo che un numero razionale è costruito dividendo un numero "whole" per un naturale.
Nel testo "Algebra" di riferimento del corso di Matematica all'Università di Roma "La Sapienza" (cap. 2), l'insieme dei numeri naturali viene definito con lo zero incluso.
Bertrand Russel, in "Introduzione alla filosofia matematica"(pag.20) asserisce, nel celebre brano:
"Per una persona di cultura media, oggi, il punto ovvio di partenza della matematica sarà la successione dei numeri interi ("whole"),
1,2,3,4 ...
E' probabile che solo ad una persona che conosca un po' di matematica verrebbe in mente di cominciare con lo 0 anziché da 1; presupponiamo comunque questo grado di cultura e prendiamo come nostro punto di partenza la serie
0,1,2,3,...,n,n+1,...
questa sarà la serie che chiameremo 'la serie dei numeri naturali' ".

Purtroppo, nella edizione italiana "whole numbers" è stato tradotto come "interi", generando confusione con i veri e propri interi, ovvero la serie dei relativi popolarmente nota come dei "numeri col segno".
Si osservi come Russel impieghi i termini "naturali" e "whole" in modo opposto a quanto esposto prima.
L'origine dei numeri naturali sembra essere dovuta alla necessità di assegnare ad un insieme di oggetti un simbolo che ne definisca la quantità. Questa operazione di astrazione è stata una operazione sicuramente non banale che testimonia il nostro alto grado di civiltà. Lo stesso Russel dice:

"Devono infatti essere stati necessari molti secoli per scoprire che una coppia di fagiani ed un paio di giorni sono entrambi espressioni del numero 2; il grado di astrazione che questo comporta non è certo lieve. (...) Quanto allo 0, è una scoperta recentissima; i Greci ed i Romani non avevano questa cifra".

In questo passo Russell usa un efficace gioco di parole sul termine inglese "digit" che in italiano significa sia "cifra" che "dito". Quindi lo zero è sicuramente un numero particolare, poiché non è corrispondente ad alcun "dito" e rappresenta la "quantità di cose in un insieme di oggetti che non esiste".
Supponiamo di essere un gestore di una taverna nell'antica Roma che abbia la necessità di tenere il conto del numero di bottiglie Falerno in cantina. Il sistema dei numeri naturali può essere un ottimo strumento per supportare il nostro lavoro.
La definizione originale dei numeri naturali, con lo zero escluso, è incompleta senza un simbolo che indichi l'assenza di oggetti in un insieme. Non saremmo infatti in grado di scrivere su un foglio l'evento "non ci sono più bottiglie in cantina". Viceversa, l'inclusione dello zero nei numeri naturali rompe la coerenza dell'insieme basata sull'assunto che ogni numero è corrispondente alla presenza di una quantità di bottiglie. Lo zero sarebbe l'unico numero legato alla assenza di bottiglie.
Quindi, mentre i numeri 1,2,3... sono legati ad una presenza concreta di oggetti, lo zero è sicuramente speciale perché corrisponde all'idea astratta dell'assenza di bottiglie.
La difficoltà di adottare il modello inclusivo o esclusivo è quindi evidente: se i numeri naturali sono l'astrazione della misura di una quantità di oggetti, come si colloca lo zero, in quanto "misura del vuoto" ?
I matematici hanno, quindi, tanta difficoltà ad inserire quanta ad escludere lo zero nei numeri naturali (nei libri di matematica lo zero è apparso nella serie dei numeri naturali solo dagli anni '60 in poi) perché adottando il modello inclusivo si ottiene un sistema di numerazione completo, in grado di rappresentare anche il fenomeno dell'assenza. Ma includendo lo zero siamo costretti ripetutamente ad escluderlo e a trattarlo come una eccezione quando si tentano di compiere ulteriori operazioni sui naturali (ad esempio, nella costruzione dei numeri razionali siamo obbligati ad escludere lo zero dal denominatore). Viceversa, adottando il modello esclusivo le incoerenze scompaiono ma non siamo più in grado di rappresentare alcuni fenomeni, come la misura dell'insieme vuoto.

Re: Bell'articolo sullo "0"
 

o ad un informatico, che non è detto faccia parte di quelli che conoscono la matematica :D :D (nessuna offesa ;), faccio parte della categoria)

è stata un'utile lettura ;)

Articolo interessante e ben scritto.

Byezz
:sofico:

io sono fra quelli che lo includono proprio perchè secondo me è necessaria una misura per l'insieme vuoto, altrimenti avremmo un insieme di cui non è possibile definire la cardinalità.

Ma lo zero...è paro o disparo? Cioè, quando nelle città fanno andare il traffico a targhe alterne, con il numero finale paro o disparo, se la mia finisce con zero che faccio?
:D

Un numero pari, è un numero intero che si può ottenere moltiplicando 2 per un altro intero.
Dato che 0 = 2x0, segue che 0 è pari.

OK, grazie! ;)

"Lo zero non è nè pari nè dispari, lo zero è VERDE!"

Un altro articolo carino e semplice sullo zero! :)

http://www2.polito.it/didattica/poly...03/APPUNTI.HTM

Bene! Ho capito tutto, grazie! ;)

Siccome io vedo la matematica dal punto di vista astratto includo lo zero,che cmq esprime una quantità.
quante bottiglie ci sono? zero! è cmq una quantità no?

è quello che ho detto io: meglio "cardinalità" come termine che "quantità" ;)

imho alla fine tutti questi ragionamenti si riducono ad una sola domanda:

la matematica è qualcosa già insito nella natura e che l'uomo scopre sempre più di giorno in giorno o è solo un sistema totalmente inventato con cui tradurre i fenomeni naturali in modelli?

Io dico che è una costruzione logica inventata dall'uomo, come i sillogismi di Aristotele per dire. Almeno secondo me che non so niente di filosofia matematica.

A mio parere è una delle più grandi domande dell'umanità - non vorrei sbilanciarmi nel mettere al primo posto ma quasi quasi..... -

:D




Vi racconto una storia sullo zero.
La mia prof. di chimica, una sorda rincoglionita che non capiva una mazza, mi fa un una domanda, quale e' la roccia con minore quantita' di un componenet chimico, e mi da un elenco. Tra queste ce ne e' una che non ne contiene e una che ne contiene pochissimo. Voi cosa avreste detto? Io gli ho detto quella con zero sostanza, e sta cretina mi ha dato la risposta era sbagliata (era uno scritto).
Dopo che gli ho spiegato che zero e' minore di "tot" ,positivo, e lei non lo capiva, da quel giorno in poi non l'ho piu' considerata un essere umano... e includo lo zero nei naturali, A VITA!

Ed è tutta colpa di Berlusconi!

Re: Re: Bell'articolo sullo "0"
 

*

idem :asd:

Da quel poco che mi ricordo delle basi di matematica credo che lo zero vengo aggiunto in un secondo tempo agli interni. Cioè, dapprima si considera che N sia 1,2,3,...,n
Poi vengono gli Z
E poi si aggiunge lo 0 a N

Una cosa simile. Ma dipende come si vuole interndere lo zero.

Così dimostravo l'estensione da 1 fino a R.

Però non mi ricordo se davo una dimostrazione effettiva per lo zero oppure veniva fuori come necessità di nulla.